Stringhe e matematica

Queste brevi considerazioni servono da supporto ad alcuni miei alunni per scrivere un articolo sul giornale d’istituto relativo al ruolo della matematica nella descrizione del mondo.

STRINGHE DI…MATEMATICA

 La teoria delle stringhe, se dovesse rivelarsi corretta, sarebbe una definitiva prova del potere della matematica, quanto meno nella descrizione del nostro universo.

La caratteristica anomala di questa teoria (in realtà è un gruppo di teorie e qualcuno non la considera affatto una teoria…) è l’attuale impossibilità di sottoporre le sue supposizioni a verifica sperimentale: occorrerebbero acceleratori di particelle almeno dieci milioni di miliardi di volte più potenti di quelli odierni!

La grande fiducia nella matematica ha spinto, quindi, i teorici a formulare interessanti congetture e numerosi modelli sul “funzionamento” del mondo e la teoria delle stringhe può essere considerata come un’enorme cesta di ipotesi matematiche, una raccolta di idee per estendere le leggi della fisica.

Se e quale di queste idee riuscirà a descrivere l’universo, al momento non si può stabilire.

La matematica della teoria delle stringhe è molto complessa, ma possiamo fare un esempio sufficientemente semplice in modo da poter chiarire il ruolo che la “Scienza Esatta” svolge nell’attuale ricerca della fisica fondamentale.

I fisici delle stringhe sono molto legati a una teoria matematica che si chiama supersimmetria. Il motivo è che se la supersimmetria funziona, allora risulta molto probabile che anche la teoria delle stringhe possa funzionare. L’acronimo usato per indicare la supersimmetria è abbastanza carino (almeno quello): SUSY.

SUSY studia le trasformazioni fra particelle che hanno uguale carica, ma spin diversi.

Si può pensare allo spin come ad una misura del “modo di ruotare” di una particella (tecnicamente, del suo momento angolare). I numeri che caratterizzano il valore degli spin delle particelle possono essere interi (1,2,3…) oppure seminteri (1/2, -1/2…).

I fisici dividono le particelle in due grosse categorie: i Bosoni (che hanno spin intero) e i Fermioni (con spin semintero).

La particella di Higgs e il fotone sono esempi di Bosoni; elettrone, neutrino e quark appartengono alla categoria dei Fermioni.

SUSY si occupa di trasformare, attraverso rotazioni, i Bosoni in Fermioni. Molto semplice.

Per ogni Fermione (se SUSY descrive il nostro mondo) esisterà un Bosone corrispondente nella supersimmetria: esempio, all’ elettrone  corrisponde il             selettrone (il nome del componente supersimmetrico della particella si ottiene anteponendo una “s” al nome del fermione).

La matematica di SUSY prevede l’uso di “dimensioni bosoniche” e “dimensioni fermioniche” . Le prime possono essere pensate come le classiche dimensioni (lunghezza, larghezza,…) mentre le seconde sono una ”invenzione” tutta matematica e si possono spiegare solo con regole algebriche. Le più interessanti riguardano la moltiplicazione.

Per le usuali dimensioni (chiamiamole a e b) , la moltiplicazione di due di esse corrisponde a un’area:

a X a = a2   (area del quadrato)

a X b = b X a  (area del rettangolo; non importa l’ordine col quale si esegue la moltiplicazione)

Le regole per le dimensioni fermioniche sono, invece:

a X a = 0

b X b = 0

a X b = – b X a

Sono (almeno simbolicamente) le stesse regole che si utilizzano per i prodotti vettoriali in fisica (chi le ha studiate, le avrà immediatamente riconosciute!).

Vediamo il significato che attribuisce SUSY a queste relazioni.

Le lettere a e b significano rispettivamente: muoversi nella prima dimensione fermionica e muoversi nella seconda dimensione.

Muoversi a velocità doppia nella prima dimensione è indicato col simbolo a X a. Dire che a X a = 0 , significa che questo tipo di moto non è possibile.

La regola  a X b = – b x a , ci dice che nello spazio delle dimensioni fermioniche è importante l’ordine col quale si eseguono le moltiplicazioni: un mondo non commutativo, anzi, anti commutativo.

Evidenziamo come le dimensioni fermioniche non rappresentino niente di concreto; esse non sono altro che le regole algebriche adatte a descriverle: entità solo matematiche.

Sfruttando, però, l’algebra che caratterizza  le dimensioni fermioniche è possibile ottenere informazioni sul movimento delle particelle nello spazio reale delle dimensioni nascoste previste dalla teoria delle stringhe.

La speranza dei teorici e quella di connettere tali argomentazioni matematiche con la fisica sperimentale.

Al momento non è stata scoperta nessuna delle particelle previste da SUSY e, probabilmente, il nostro universo non è supersimmetrico (con le energie disponibili attualmente, il selettrone avrebbe dovuto già manifestarsi) oppure lo è solo in parte.

Non sappiamo, quindi, fino a che punto il mondo possa essere descrivibile con l’aiuto della matematica; mai come in questo momento si avverte il bisogno di un’ idea NUOVA che possa farci strada in “questo oscuro laberinto”.

 

Bibliografia

Gubser : Il piccolo libro delle stringhe.

Wilczek : La leggerezza dell’essere.

Randall : Passaggi curvi.

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